[A113] Ecuaciones horarias en el MRUV

La secuencia de estudio que hicimos en MRUV consistió en definir primero el tipo de movimiento sin utilizar el concepto de aceleración ([A110] y [V110]), y luego, una vez definida la aceleración [A112] reformular el concepto: una partícula o un objeto desarrolla un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) si se desplaza en línea recta en un sentido y con aceleración constante.

Si recordamos que para la física conocer el movimiento de un cuerpo es conocer para cada instante de tiempo los parámetros de posición, velocidad y aceleración, debemos encontrar las expresiones de cada una de estas magnitudes donde la variable sea el tiempo. Ésas serán nuestras herramientas, y las buscaremos de atrás hacia adelante, primero la aceleración, luego la velocidad y finalmente la posición; ya que de esta manera es más fácil de entender.

Al evaluar numéricamente la aceleración (mediante la fórmula de la definición) se llega a un valor constante (esto lo podemos ver en los 2 casos analizados, uno en [V110] y otro en [V111]), que al generalizarlos nos lleva a la primera ecuación.

En MRU, de la expresión del concepto de velocidad despejamos X y obtuvimos una fórmula para calcular la posición en función del tiempo. Análogamente en MRUV, de la expresión del concepto de aceleración despejamos y llegamos a una fórmula para calcular la velocidad para un instante de tiempo determinado:

a = (V – V₀) / (t - t₀)  →  a.(t - t₀) = V – V₀
Ordenando un poco tenemos:
V = V₀  + a.(t - t₀)

Esta sería nuestra segunda ecuación. En la expresión, V es la función a valorar, t es la variable, mientras que V₀, a y t₀ son constantes, ya que son parte de las condiciones iniciales o del estado inicial para ese movimiento.

Lo otro que tenemos que observar es que la expresión de V es una ecuación lineal (variable elevada a la potencia uno), o sea que se trata de la ecuación de una recta. El signo "+" de V nos indicará que el móvil se desplaza en el sentido del eje X positivo, y el signo "-" que lo hace en sentido contrario (ver Fig. en [A110]), y si la velocidad aumenta tendrá una gráfica creciente, mientras que si disminuye tendrá una gráfica decreciente.

Una velocidad determinada, con las constantes ya valorizadas, se vería de la siguiente manera:

Que significa que el móvil se comienza a observar a los 4 seg, cuando posee una velocidad de 20 m/seg y una aceleración de 3 m/seg² (que se mantendrá constante).

Nos queda por conseguir la “figurita más difícil”, que es la ecuación para calcular la posición. La deducción de esta ecuación horaria no tiene importancia, pero si tiene mucha importancia su uso e interpretación. Se puede obtener analíticamente por integración o gráficamente (más sencillo), pero esto lo podemos ver luego de estudiar un poco más la interpretación de gráficos y la resolución gráfica de los ejercicios. No obstante, para evitar el insomnio, vamos a hacer una analogía con lo que vimos en la resolución gráfica del MRU [A105] y recordar que fue Newton quien observó que integrar una función era lo mismo que calcular el área encerrada bajo la curva de esa función, de allí que el área del trapecio del gráfico anterior represente la variación de la posición (X – X₀) entre los instantes final e inicial (t - t₀).

X – X₀ = Área del trapecio
Área del triángulo: ½.base.altura = ½.(t-t₀).(V-V₀)

Área del rectángulo: base.altura = (t-t₀).V₀

Área del trapecio: ½.(t-t₀).(V-V₀) + (t-t₀).V₀

En el siguiente paso reemplazamos V (que sería una variable) por lo obtenido en la 2° ecuación horaria, y luego ordenamos un poco la expresión:

Área del trapecio: ½.(t-t₀).((V₀ – a.(t-t₀)-V₀) + (t-t₀).V₀ =

= ½.(t-t₀).(a.(t-t₀)) + (t-t₀).V₀ = V₀.(t-t₀) + ½.a.(t-t₀)²

Finalmente queda:

X – X₀ = Área del trapecio = V₀.(t-t₀) + ½.a.(t-t₀)²

Que al despejar X se obtiene:

X = X₀ + V₀.(t-t₀) + ½.a.(t-t₀)²

De esta manera conseguimos la tercera ecuación horaria, que es una expresión donde la variable está elevada al cuadrado, por lo tanto se trata de una ecuación cuadrática, cuya representación gráfica es una parábola (es de segundo grado porque tenemos t²). En función de los coeficientes la parábola puede ser más abierta, más cerrada, etc., pero por ahora nos interesa resaltar que si el término cuadrático es positivo las ramas van hacia arriba (carita feliz), y si el término cuadrático es negativo las ramas van hacia abajo (carita triste). El signo del término cuadrático lo aporta únicamente la aceleración, que como ya dijimos dependerá del sistema de ejes adoptado.

Nuestra valija de herramientas queda:

Ecuaciones horarias para el MRUV

X = X₀ + V₀.(t-t₀) + ½.a.(t-t₀)²

V = V₀  + a.(t - t₀)

a = constante

También te puede interesar:
[A] Deducción de las ecuaciones horarias de posición y velocidad del MRUV

                                                            

Fuentes:

Imágenes propias.

[A112] Aceleración en el MRUV

Previamente ver:

[A111] Velocidad media e instantánea

En notas anteriores describimos a la velocidad como la variación de la posición respecto del tiempo (o tasa de cambio de posición con el tiempo). De manera análoga la aceleración representa la variación de la velocidad respecto del tiempo (o tasa de cambio de velocidad con el tiempo). En los casos de movimiento rectilíneo la aceleración se manifestará sobre el eje en que ocurre el movimiento, y por su influencia la velocidad va a aumentar o disminuir.

Complementar con:

[V110] Introducción al MRUV (I)

[V111] Introducción al MRUV (II)

Aceleración media (o promedio)

Decimos que un objeto está acelerando cuando su velocidad cambia (ej. un auto cuya velocidad aumenta desde cero hasta 40 km/h, está acelerando, o una moto cuya velocidad disminuye de 50 Km/h a cero significa que desaceleró o frenó hasta detenerse). La aceleración indica qué tan rápido es el cambio en la velocidad de un objeto (Giancoli; 2006:23), por lo que podemos definir:

La aceleración media es el cambio en la velocidad dividido por el tiempo que le toma realizar ese cambio.

En símbolos podemos expresarla como:

Como siempre que definimos una nueva magnitud, lo siguiente que debemos hacer es indicar en que unidades la vamos a medir. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la velocidad se mide en m/seg y el tiempo en seg. Por lo tanto para la aceleración nos queda una división de fracciones, que al resolverla se obtiene como unidad el m/seg². Esta unidad también es la que encontramos en los manuales de automóviles, motocicletas o camiones, aunque a veces algunos fabricantes para facilitar la comprensión mezclan unidades e indican los segundos que demora el vehículo para pasar de una velocidad de 0 a 100 Km/h.

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No debemos confundir aceleración con velocidad. La velocidad describe el cambio de la posición de un objeto con el tiempo, indica con qué rapidez y en qué dirección se mueve el objeto. La aceleración describe cómo cambia la velocidad con el tiempo, indica como cambian la rapidez y la dirección del movimiento. Un ejemplo que puede ayudar es imaginarnos viajando en un auto que acelera hacia adelante y aumenta su rapidez, en esa situación nos sentiríamos empujados hacia atrás (hacia el asiento); si acelera hacia atrás y disminuye su rapidez, nos sentiríamos empujados hacia adelante (hacia el parabrisas o hacia el volante). Pero si la velocidad es constante y no hay aceleración, no sentiríamos ninguna sensación, cualquiera sea la velocidad a la que estemos viajando (Sears; Zemansky; 2009:43).

Como la aceleración deriva de la velocidad (que posee características vectoriales) también será una magnitud vectorial. Pero en un movimiento rectilíneo o unidimensional, y tal como vimos con la velocidad, se usan los signos positivo y negativo para indicar la dirección de la aceleración (respecto a un sistema de coordenadas adoptado arbitrariamente).

Tal vez se comprenda mejor considerando las magnitudes de velocidad y aceleración en conjunto. Como tenemos que referenciar todo a un sistema de ejes, tanto la velocidad como la aceleración tendrán su correspondiente signo (positivo si coinciden con el sentido del eje X y viceversa), entonces si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo la velocidad se incrementará desde el punto de vista de la Física, mientras que si poseen signos contrarios la velocidad disminuirá (móvil frenando).

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, o sea que podemos partir de la aceleración media y llevar el intervalo de tiempo a un valor infinitesimal. Se define en analogía con la velocidad instantánea, para cualquier instante específico de tiempo como:

La aceleración instantánea (o simplemente aceleración) es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

En los posteriores análisis gráficos que hagamos comprobaremos que la aceleración instantánea es la pendiente de la gráfico V-t (Serway, Jewett;2008:28).

Movimientos con aceleración constante

En las situaciones prácticas que vamos a analizar (y en la mayoría de los casos reales) podemos considerar que la aceleración es constante. Si además el movimiento es unidimensional o en línea recta (rectilíneo), la aceleración instantánea y la aceleración media son iguales (Giancoli; 2006:26).

Bajo esta premisa, si analizamos un tramo del recorrido de un objeto con MRUV, durante todo el trayecto la aceleración será constante y la velocidad linealmente variable (ya sea que esté aumentando o disminuyendo).

Fuentes:

Giancoli (2006). Física Vol. 1. Edic. 6°.
Sears; Zemansky (2009). Física Universitaria. Vol. 1. Edic. 12°.
Serway; Jewett (2008). Física para ciencias e ingenieria Vol. 1. Edic. 7°.
Tippens (2011). Física: Conceptos y Aplicaciones. Edic. 7°.

[V111] Introducción al MRUV (II)

El siguiente video completa la introdución al MRUV vista en [V110], ahora analizando otra situación clásica de movimiento, donde un auto que realiza un recorrido rectilíneo comienza a frenar hasta que llega al reposo. A partir de este análisis también se irán graficando las variables del movimiento en función del tiempo, y como ya dedujimos las ecuaciones horarias del MRUV, ahora directamente las aplicaremos.

[V110] Introducción al MRUV (I)

¿En la naturaleza encontramos casos de MRUV?
¿En nuestra vida cotidiana hay objetos o móviles que desarrollen un MRUV?
¿Que aclaración tenemos que hacer cuando consideramos un caso real de MRUV?

El siguiente video introduce el MRUV analizando una situación de movimiento clásica, donde un auto inicia un recorrido rectilíneo a partir del reposo. A partir de este análisis se irán graficando las variables del movimiento en función del tiempo, y se deducirán las ecuaciones horarias para el MRUV.