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11 nov 2020

[A118] MRU. Resolución de ejercicios tipo.

Cualquier ejercicio de MRU con estado inicial cero (X0=0; t0=0) se puede resolver análogamente a uno de los 3 ejercicios tipo que se presentan en esta nota.

Para los casos de MRU podemos analizar un tramo del movimiento considerando todas las variantes del mismo que se puedan presentar. Estos movimientos están regidos por la siguiente ecuación horaria:

X = X0+V.(t-t0)

Como tenemos una única ecuación solo podemos resolverla contemplando una sola incógnita. Para todos los casos consideraremos que el tiempo inicial y la posición inicial tienen un valor cero. Esto es así en la realidad, ya que al poder elegir el sistema de ejes y el arranque del reloj, al estado inicial solemos ponerlo en cero. De esta manera tenemos:

X = V.t

Con estas premisas se pueden presentar 3 casos distintos para resolver:



Incógnitas   Velocidades   Ejercicios

¿X?                 V=cte.             [X125] La reacción del viejo

¿V?                 V=cte.             [X126] Zona de turbulencia

¿t?                  V=cte.             [X127]Mirando por la ventana del tren

¿Cómo utilizar estos ejercicios tipo?

Por ejemplo si en una problemática de MRU determinada se nos pide calcular la velocidad a la que viaja un móvil, conociendo la distancia recorrida y el tiempo empleado, procedemos de la siguiente manera: sabiendo que V=constante buscamos la incógnita "V" que debemos evaluar y observamos que nuestra problemática se resuelve de manera análoga que el ejercicio [X126], hacemos clic sobre el y tendremos un video explicativo. Por supuesto debemos utilizar los valores de nuestra problemática.

12 jun 2020

[A107] Casos de encuentro con MRU


Hemos desarrollado todo el tema de MRU para un solo móvil, ahora vamos a incluir otro. Para ello vamos a considerar los conocidos casos de encuentro, donde 2 móviles se desplazan sobre el mismo eje X. ya sea en el mismo sentido pero con distinta velocidad, o en sentidos opuestos con igual o distinta velocidad, y algunas combinaciones más.


Para que se produzca el encuentro de los 2 móviles deben coincidir en una posición al mismo tiempo, sino no se produciría el encuentro. Igual que en el caso de 2 personas, si las 2 van a la misma verdulería pero en distinto tiempo, no se encuentran.
Los ejercicios de encuentro se utilizan para determinar en qué momento o en qué posición se encontrarán dos móviles, en función de un sistema de coordenadas. Para calcular la posición o el tiempo de encuentro se deben plantear dos “juegos” de ecuaciones horarias, uno para cada móvil, por lo que tendremos que identificarlos con subíndices (letras o números). En el caso de MRU solo tenemos una ecuación propiamente dicha para cada uno:

X = XA,0  + VA.(t – tA,0)
X = XB,0  + VB.(t – tB,0)

Podemos observar que las magnitudes que llevan subíndeces son las constantes de cada móvil. Para que se produzca el encuentro igualamos las ecuaciones y despejamos t.

Para resolver estos ejercicios, donde se pueden presentar situaciones muy interesantes se puede recurrir al simulador gráfico [S615], pero solo para los casos donde los 2 móviles desarrollen MRU, para casos donde uno de los móviles se desplace con MRUV tendremos que usar otro graficador, el [S616].

FIN DEL TEMA: MRU

4 jun 2020

[A105] Resolución gráfica del MRU


Si bien habíamos comentado que teníamos 2 métodos para resolver problemáticas de movimiento rectilíneo, como el analítico y el gráfico, hasta ahora solo hemos trabajado con el método analítico y luego graficábamos, pero no resolvíamos ejercicios desde el punto de vista geométrico.
Tanto en un método como en el otro tenemos que contar con los valores de algunas magnitudes físicas para poder calcular los restantes, de manera que el conjunto de ellos defina inequívocamente un movimiento. Esos datos los podemos obtener por mediciones directas o a partir de gráficos que arroje algún sensor.

¿De un gráfico X-t podemos pasar a un gráfico V-t? ¿ Y viceversa?


Si solo contamos con un gráfico X-t ¿qué dato nos puede aportar la pendiente de la recta? 

Como podemos imaginarnos existirán innumerables variantes de inclinaciones de rectas X-t, por eso el interés para interpretar su significado. Matemáticamente la pendiente de una recta se describe o caracteriza por la función trigonométrica de la tangente, pero tenemos que considerar tanto el caso de un móvil que se desplaza con velocidad positiva como otro que lo hace con velocidad negativa.


En un triángulo rectángulo se define la tangente de uno de sus ángulos como el cateto opuesto dividido el cateto adyacente.


Al comparar la expresión de las tangentes de los ángulos en cada uno de los gráficos vemos que se corresponden con la definición de velocidad que venimos empleando. Por lo tanto podemos concluir que:

El valor de la pendiente se corresponde con el valor de la velocidad media. Por tanto a mayor pendiente de la recta, mayor velocidad posee el cuerpo.

Ahora hagamos el proceso inverso, pensemos que contamos con un gráfico V-t, y lo que vamos a hacer es calcular el área encerrada entre la curva (en matemática el concepto curva incluye a las rectas) y el eje t.


Área rectángulo = base . altura = (t-t0) . (V-0) = (t-t0) . V = (t-t0) . (X-X0)/(t-t0) = X-X0

El resultado no es otra cosa que la variación de la posición del móvil en el tramo observado. Si conocemos de que posición del eje X partió, obtendremos la posición final del objeto.


De igual manera podríamos llegar al gráfico a-t, pero tendrá mayor relevancia cuando estudiemos otros movimientos, como por ejemplo en MRUV, en cambio en MRU carece de importancia, 

Continuamos la clase con (clic en el link siguiente):
[A107] Casos de encuentro con MRU

3 jun 2020

[V106] Uso de un graficador para MRU


En [V105] decíamos que para esa etapa de interpretación no considerábamos escalas en los gráficos, sino solo las tendencias o la forma que tendrían los gráficos, más allá de los valores de las magnitudes, por eso buscábamos los signos de X0, t0 y V. Ahora vamos a asignarle valores a esas magnitudes para graficar X-t, valores que se obtienen a través de las ecuaciones horarias.


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[S611] Gráficos MRU 

Continuamos la clase con (clic en el link siguiente):

2 jun 2020

[V105] Interpretación gráfica del MRU


Los siguientes 2 videos están basados en la presentación que puede verse en este mismo sitio como [Y101]. En el primer video vamos a analizar 7 casos posibles de MRU, donde se combinan distintos valores de posición y tiempo iniciales, una vez adoptado un eje X de referencia. En todos estos casos consideraremos velocidades positivas.


En el segundo video vamos a analizar 9 casos posibles de MRU, donde se combinan distintos valores de posición y tiempo iniciales, una vez adoptado un eje X de referencia. En todos estos casos consideraremos velocidades negativas.


Observación: dijimos que se considera velocidad positiva si el móvil se desplaza en el mismo sentido que el eje X. Aclaramos que aunque su posición inicial y su posición final estén del lado de las X negativas, mientras se desplace en el mismo sentido que el eje X los valores de la posición serán cada vez menos negativos y la velocidad resultará positiva (ver caso "g").
De manera análoga dijimos que la velocidad es negativa si el móvil se desplaza en sentido contrario al eje X. Aclaramos que aunque su posición inicial y su posición final estén del lado de las X positivas, mientras se desplace en sentido contrario al eje X los valores de la posición serán cada vez menos positivos y la velocidad resultará negativa (ver caso "l").

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[S611] Gráficos MRU

Continuamos la clase con (clic en el link siguiente):

1 jun 2020

[Y101] Interpretación gráfica del MRU


¿Cómo pasamos del típico esquema que hacemos para comenzar un ejercicio, al Gráfico X-t? 

En la práctica real del trabajo profesional tal vez no tengamos que calcular los estados inicial o final, o la velocidad de desplazamiento, sino por el contrario nuestro trabajo tal vez consista en interpretar gráficos a partir de los datos que arroja un sensor. En MRU el gráfico que presenta cierto interés para interpretar el movimiento es el  X-t.
En las diapositivas siguientes vamos a buscar la correlación entre cada diagrama X-t y el movimiento que desarrolla un móvil. Para ello haremos el proceso inverso, partiremos de 16 casos probables y veremos como son las tendencias de los gráficos.  


Interpretación de gráficos en MRU de SoloApuntes

La presentación anterior sirve de base para la explicación que se puede observar en el video [V105].

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[S611] Gráficos MRU

Continuamos la clase con (clic en el link siguiente):

18 may 2020

[V104] Resolución analítica del MRU y graficación


¿Cómo conviene adoptar el sistema de referencia?
¿Cómo conviene considerar los tiempos en una problemática de MRU?
¿Cómo realizar la conversión de unidades de velocidad?
¿Cómo graficar el movimiento?



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[S611] Gráficos MRU

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[Y101] Interpretación gráfica del MRU

13 may 2020

[V103] Resolución analítica del MRU


¿Qué herramientas tenemos en el MRU para resolver problemáticas de manera analítica?
Además del resultado matemático ¿qué otras situaciones debemos tener en cuenta en un tema de Higiene Laboral?
¿Cuántas posiciones se necesitan para aplicar las ecuaciones horarias?
¿Cómo resolvemos un ejercicio donde interesan los datos de 3 posiciones distintas?


El procedimiento para cualquiera de los casos se puede resumir como se ve en la siguiente figura. Luego vienen los pasos puramente matemáticos, y finalmente la interpretación de la solución.

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[S611] Gráficos MRU

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[V104] Resolución analítica del MRU y graficación

6 may 2020

[A104] Ecuaciones horarias en el MRU

Previamente ver:

De la definición de velocidad enunciada en [A103] nos vamos a quedar con la última notación (la que está más a la derecha y seguidamente marcamos en color rojo), la que considera una posición genérica como X, y un tiempo genérico como t, y utiliza los subíndices cero para indicar las condiciones iniciales:


Si recordamos lo ya dicho varias veces (y que seguiremos repitiendo), para la física conocer el movimiento de un cuerpo es conocer para cada instante de tiempo los parámetros de posición, velocidad y cambio de velocidad (en MRUV veremos que se llama aceleración); entonces lo más razonable sería tener la ecuación anterior en función del tiempo (considerando al tiempo como variable). Despejando obtenemos:

V.(t - t0) = X – X0  →  X = X0  + V.(t - t0)

Lo que acabamos de obtener es una expresión para calcular la posición de un cuerpo en un instante t determinado, partiendo para ello de su posición inicial (X0), del tiempo donde comenzamos a observarlo (t0) y de la velocidad que desarrolla (V). Cabe aclarar que estos 3 últimos valores son constantes, porque se refieren al estado de inicio del movimiento y a la velocidad que desarrolla el MRU (constante). Siendo t la variable de la expresión y X la función a valorar. Por lo tanto ya tenemos la expresión para calcular la posición.
Si a esta ecuación le agregamos otra expresión para la velocidad (conociendo que es constante) y además agregamos otra expresión para el cambio de velocidad (como no hay cambio de velocidad será cero), ya tenemos armado el paquete de ecuaciones horarias para el MRU (recordemos una vez más que teníamos que expresar X. V y a en función del tiempo, por eso se llaman ecuaciones horarias):




A la primera ecuación (en realidad la única, ya que las otras son expresiones de constantes), podemos compararla con lo que alguna vez aprendimos y practicamos como ecuación de primer grado en la escuela secundaria.
Lo que conseguimos hasta este punto es un conjunto de herramientas que nos permitirán resolver de manera analítica cualquier problemática de MRU.
Ahora vamos a graficar las ecuaciones horarias, si nos fijamos hemos resaltado con azul las constantes, por lo tanto la única variable es t, y para cada valor que asignemos a t obtendremos un valor de X, de esta manera podemos armar un cuadro de valores como hicimos en [A102], y graficar.


Para trazar los gráficos usaremos la misma escala de tiempo para las 3 variables y las ubicaremos una sobre la otra (como si fuera un tándem). Utilizaremos los datos del ejemplo visto en [A102].



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[S611] Gráficos MRU

Fuentes:
Imágenes propias.

Continuamos la clase con (clic en el link siguiente):
[V103] Resolución analítica del MRU

[A103] Velocidad en el MRU

Previamente ver:

La definición de MRU que desarrollamos [A102] se basa en que un objeto (partícula, móvil) recorre distancias iguales en tiempos iguales, en línea recta (representada por un eje de coordenadas). Y ahora la definición de velocidad es:

La velocidad en el MRU se calcula como la variación de la posición dividida la variación del tiempo.
En el SI las unidades serían:
ΔX = Variación de la posición [m]
Δt = Variación del tiempo [seg]
XF = X2 = X: Posición final, posición 2 (o segunda), o simplemente posición [m].
Xi = X1 = X0: Posición inicial, posición 1 (o primera), o simplemente posición cero [m].
tF = t2 = t: Tiempo final, tiempo 2 (o segundo), o simplemente tiempo [seg].
ti = t1 = t0: Tiempo inicial, tiempo 1 (o primero), o simplemente tiempo cero [seg].

Un clásico: siempre que introducimos o definimos una nueva unidad, lo primero que tenemos que decir es como se va a medir, tanto en el SI de unidades como en algún otro sistema de uso arraigado. En el caso de la velocidad, en el SI se medirá como:
V = Velocidad [m/seg]
También podríamos usar como unidad el [Km/h], que no pertenece a ningún sistema de unidades pero es el más utilizado.

De esta manera el concepto de velocidad introducido corresponde a una magnitud vectorial (con sus 4 propiedades, ver [M01] y [M11]) ya que mide la variación de la posición de un móvil en función del tiempo. Al ser el cociente entre una magnitud vectorial (posición) y una escalar (tiempo), da como resultado una magnitud vectorial (velocidad).
En lugar de emplear la velocidad, en muchas ocasiones se utiliza el concepto físico de rapidez, que no es más que el módulo del vector velocidad en un instante determinado (ver ejemplo en M11 página 27), por lo tanto se trata de un escalar. La rapidez no tiene en cuenta los cambios de dirección que experimenta un móvil. Como ejemplo podemos considerar un auto tomando una curva a 80 Km/h constantes, su rapidez en la curva efectivamente será de 80 Km/h, pero su velocidad irá variando en cada punto de la curva, porque van cambiando su dirección y sentido. Como vemos tanto la velocidad como la rapidez tienen la misma unidad.
Además en el caso concreto del MRU por tratarse de un movimiento rectilíneo la velocidad y la rapidez coinciden, por eso en estos casos se utilizan los términos indistintamente.

Volvamos ahora al esquema de la nota [A102]. Para mayor comodidad convertimos las unidades en que medimos el tiempo, pasando a una notación horaria decimal.

Si consideramos los cocientes entre la distancia recorrida y el lapso de tiempo empleado tomando distintos períodos (pero solamente dentro del tramo entre 4 Km y 12 Km, que es el que analizamos), veremos que ese cociente es constante:
  • Entre 4 Km y 12 Km → (12 Km – 4 Km) / (1 h – 0 h) = 8 Km / 1 h = 8 Km/h
  • Entre 6 Km y 10 Km → (10 Km – 6 Km) / (0,75 h – 0,25 h) = 4 Km / 0,5 h = 8 Km/h
  • Entre 10 Km y 12 Km → (12 Km – 10 Km) / (1 h – 0,75 h) = 2 Km / 0,25 h= 8 Km/h
Como podemos apreciar, si un móvil transita con MRU, el cociente entre los diversos tramos recorridos de ese movimiento divido los lapsos de tiempo correspondientes, arrojan siempre el mismo valor (constante).

La velocidad en un MRU es constante, ya que no cambian ni su dirección, ni el sentido, ni el módulo de la misma.

Para evitar confusiones posteriores también podríamos decir que la rapidez en un MRU es constante. Esto es una consecuencia directa de la definiciones de MRU y de velocidad desarrolladas. Si esto lo llevamos a un gráfico tendremos:


En [A101] hablamos de la interpretación física de una posición negativa. Con el mismo criterio podemos considerar el sentido físico del tiempo negativo. Para la velocidad podemos interpretar que físicamente es siempre positiva, porque avanza una cierta distancia por cada unidad de tiempo, pero como adoptamos arbitrariamente un sistema de coordenadas, si el móvil se desplaza hacia el lado negativo del eje de las X, diremos que matemáticamente posee una velocidad negativa.

Fuentes:
Imágenes propias.

Continuamos la clase con (clic en el link siguiente):
[A104] Ecuaciones horarias en el MRU

5 may 2020

[V102] Introducción al MRU


¿En la naturaleza encontramos casos de MRU?
¿En nuestra vida cotidiana hay objetos o móviles que desarrollen un MRU?
¿Que aclaración tenemos que hacer cuando consideramos un caso real de MRU?


Continuamos la clase con (clic en el link siguiente):
[A103] Velocidad en el MRU

[A102] Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

COMIENZO DE LA CLASE: MRU

La definición habitual es la que considera al MRU como un movimiento con trayectoria recta [A003] y a velocidad constante (así también lo entiende la mismísima Wikipedia), y es totalmente cierto, pero a los fines didácticos todavía no desarrollamos el concepto de velocidad, entonces podemos ensayar una definición de MRU basada solamente en conceptos conocidos:

Una partícula o un objeto desarrolla un movimiento rectilíneo y uniforme si al desplazarse en línea recta, en un solo sentido, recorre distancias iguales en tiempos iguales.

Este movimiento es el más sencillo que podemos encontrar en nuestra vida cotidiana, como ejemplos podemos citar: la propagación de la luz en el espacio, el desplazamiento de un camión en una carretera (en las condiciones que acabamos de mencionar), etc.
Llevemos todo esto a un esquema, donde tenemos un móvil que partió desde alguna posición situada sobre el eje X, y nosotros comenzamos a analizar su movimiento cuando pasa por el Km 4, o sea que en ese instante ponemos en marcha nuestro cronómetro, luego medimos el tiempo transcurrido hasta que pasa por el Km 6, y así sucesivamente controlamos hasta el Km 12, donde nuestro reloj marca 60 minutos.


Estos datos obtenidos por mediciones se pueden llevar a una tabla de valores (de pares ordenados) que expresa la relación existente entre 2 magnitudes medidas en una observación, y que luego se podrá graficar en unos ejes de coordenadas. Para armar la tabla conviene que las unidades tengan cierta coherencia entre sí para que la representación gráfica sea significativa, por lo que vamos a convertir el tiempo medido en minutos en horas (sistema decimal).


Con esta tabla de valores podemos hacer un gráfico que represente la posición en función del tiempo.


Fuentes:
Imágenes propias.


Continuamos la clase con (clic en el link siguiente):

Dario Gavassa (2020). Movimiento rectilíneo uniforme (MRU). En SoloApuntes4.

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