[A113] Ecuaciones horarias en el MRUV

La secuencia de estudio que hicimos en MRUV consistió en definir primero el tipo de movimiento sin utilizar el concepto de aceleración ([A110] y [V110]), y luego, una vez definida la aceleración [A112] reformular el concepto: una partícula o un objeto desarrolla un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) si se desplaza en línea recta en un sentido y con aceleración constante.

Si recordamos que para la física conocer el movimiento de un cuerpo es conocer para cada instante de tiempo los parámetros de posición, velocidad y aceleración, debemos encontrar las expresiones de cada una de estas magnitudes donde la variable sea el tiempo. Ésas serán nuestras herramientas, y las buscaremos de atrás hacia adelante, primero la aceleración, luego la velocidad y finalmente la posición; ya que de esta manera es más fácil de entender.

Al evaluar numéricamente la aceleración (mediante la fórmula de la definición) se llega a un valor constante (esto lo podemos ver en los 2 casos analizados, uno en [V110] y otro en [V111]), que al generalizarlos nos lleva a la primera ecuación.

En MRU, de la expresión del concepto de velocidad despejamos X y obtuvimos una fórmula para calcular la posición en función del tiempo. Análogamente en MRUV, de la expresión del concepto de aceleración despejamos y llegamos a una fórmula para calcular la velocidad para un instante de tiempo determinado:

a = (V – V₀) / (t - t₀)  →  a.(t - t₀) = V – V₀
Ordenando un poco tenemos:
V = V₀  + a.(t - t₀)

Esta sería nuestra segunda ecuación. En la expresión, V es la función a valorar, t es la variable, mientras que V₀, a y t₀ son constantes, ya que son parte de las condiciones iniciales o del estado inicial para ese movimiento.

Lo otro que tenemos que observar es que la expresión de V es una ecuación lineal (variable elevada a la potencia uno), o sea que se trata de la ecuación de una recta. El signo "+" de V nos indicará que el móvil se desplaza en el sentido del eje X positivo, y el signo "-" que lo hace en sentido contrario (ver Fig. en [A110]), y si la velocidad aumenta tendrá una gráfica creciente, mientras que si disminuye tendrá una gráfica decreciente.

Una velocidad determinada, con las constantes ya valorizadas, se vería de la siguiente manera:

Que significa que el móvil se comienza a observar a los 4 seg, cuando posee una velocidad de 20 m/seg y una aceleración de 3 m/seg² (que se mantendrá constante).

Nos queda por conseguir la “figurita más difícil”, que es la ecuación para calcular la posición. La deducción de esta ecuación horaria no tiene importancia, pero si tiene mucha importancia su uso e interpretación. Se puede obtener analíticamente por integración o gráficamente (más sencillo), pero esto lo podemos ver luego de estudiar un poco más la interpretación de gráficos y la resolución gráfica de los ejercicios. No obstante, para evitar el insomnio, vamos a hacer una analogía con lo que vimos en la resolución gráfica del MRU [A105] y recordar que fue Newton quien observó que integrar una función era lo mismo que calcular el área encerrada bajo la curva de esa función, de allí que el área del trapecio del gráfico anterior represente la variación de la posición (X – X₀) entre los instantes final e inicial (t - t₀).

X – X₀ = Área del trapecio
Área del triángulo: ½.base.altura = ½.(t-t₀).(V-V₀)

Área del rectángulo: base.altura = (t-t₀).V₀

Área del trapecio: ½.(t-t₀).(V-V₀) + (t-t₀).V₀

En el siguiente paso reemplazamos V (que sería una variable) por lo obtenido en la 2° ecuación horaria, y luego ordenamos un poco la expresión:

Área del trapecio: ½.(t-t₀).((V₀ – a.(t-t₀)-V₀) + (t-t₀).V₀ =

= ½.(t-t₀).(a.(t-t₀)) + (t-t₀).V₀ = V₀.(t-t₀) + ½.a.(t-t₀)²

Finalmente queda:

X – X₀ = Área del trapecio = V₀.(t-t₀) + ½.a.(t-t₀)²

Que al despejar X se obtiene:

X = X₀ + V₀.(t-t₀) + ½.a.(t-t₀)²

De esta manera conseguimos la tercera ecuación horaria, que es una expresión donde la variable está elevada al cuadrado, por lo tanto se trata de una ecuación cuadrática, cuya representación gráfica es una parábola (es de segundo grado porque tenemos t²). En función de los coeficientes la parábola puede ser más abierta, más cerrada, etc., pero por ahora nos interesa resaltar que si el término cuadrático es positivo las ramas van hacia arriba (carita feliz), y si el término cuadrático es negativo las ramas van hacia abajo (carita triste). El signo del término cuadrático lo aporta únicamente la aceleración, que como ya dijimos dependerá del sistema de ejes adoptado.

Nuestra valija de herramientas queda:

Ecuaciones horarias para el MRUV

X = X₀ + V₀.(t-t₀) + ½.a.(t-t₀)²

V = V₀  + a.(t - t₀)

a = constante

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[A] Deducción de las ecuaciones horarias de posición y velocidad del MRUV

                                                            

Fuentes:

Imágenes propias.